E (数学常数)

第一次提到常數${\displaystyle e}$，是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為是由威廉·奧特雷德製作。第一次把${\displaystyle e}$看為常數的是雅各布·伯努利，他嘗試計算下式的值：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

上式代表把1與無窮小相加，再自乘無窮多次。

已知的第一次用到常數${\displaystyle e}$，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以${\displaystyle b}$表示。1727年歐拉開始用${\displaystyle e}$來表示這常數；而${\displaystyle e}$第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》（）。雖然往後年日有研究者用字母${\displaystyle c}$表示，但${\displaystyle e}$較常用，終於成為標準。

用${\displaystyle e}$表示的原因確實不明，但可能因為${\displaystyle e}$是指數函數（）一字的首字母。另一看法則稱${\displaystyle a,b,c,d}$有其他經常用途，而${\displaystyle e}$是第一個可用字母。

就像圓周率${\displaystyle \pi }$和虛數單位i，${\displaystyle e}$是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義，下面列出一部分。

1. 定義${\displaystyle e}$爲下列極限值：

   ${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

   ${\displaystyle e=\lim _{t\to 0}(1+t)^{\frac {1}{t}}}$

2. 定義${\displaystyle e}$爲階乘倒數之無窮級數的和[5]：

   ${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots }$

   其中${\displaystyle n!}$代表${\displaystyle n}$的階乘。

3. 定義${\displaystyle e}$爲唯一的正數${\displaystyle x}$使得

   ${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=1}$

4. 定義${\displaystyle e}$爲唯一的實數${\displaystyle x}$使得

   ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}=1}$

這些定義可證明是等價的，请参见文章指数函数的特征描述。

${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$ 的極大值在${\displaystyle x=e}$.

很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數${\displaystyle e^{x}}$的重要性在於，唯独该函數（或其常數倍，即${\displaystyle x\mapsto ke^{x}}$，其中${\displaystyle k}$為任意常數）與自身導數相等。即：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$。

${\displaystyle e^{x}}$的泰勒級數為${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad \forall x}$

${\displaystyle =1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...}$

${\displaystyle x}$為複數時依然成立，因此根據${\displaystyle \sin x}$及${\displaystyle \cos x}$的泰勒級數，得出在數學中一條稱為歐拉公式的重要等式：

${\displaystyle e^{\mathrm {i} x}=\cos x+{\rm {i}}\sin x}$

當${\displaystyle x=\pi }$的特例是歐拉恆等式：

${\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }+1=0}$

此式被理查德·費曼稱為「歐拉的寶石」。

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)}$

即棣莫弗公式。

• ${\displaystyle e}$是無理數和超越數（見林德曼－魏尔斯特拉斯定理）。這是第一個獲證為超越數的数，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾·埃爾米特（）於1873年證明。有猜想它為正規數。
• 当${\displaystyle x=e}$时函數${\displaystyle f(x)={\sqrt[{x}]{x}}}$有最大值。
• ${\displaystyle e}$的無窮連分數展開式有個有趣的模式，可以表示如下（ A003417）

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\ldots ]}$

就像以下的展開式：

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

• 在Google2004年的首次公開募股，集資額不是通常的整頭數，而是$2,718,281,828，這當然是取最接近整數的${\displaystyle e}$十億美元。Google2005年的一次公開募股中，集資額是$14,159,265，与圆周率有关。
• Google也是首先在矽谷心臟地帶，接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕廣告版 的幕後黑手，它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com（在${\displaystyle e}$的連續數字中第一個發現的十位質數.com）。解決了這問題（第一個${\displaystyle e}$中的十位質數是7427466391，出奇地到很後才出現，由第100個數字開始），進入網站後還有個更難的題目要解決，最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束，上述網站都已關閉。
• 著名電腦科學家高德納的软件Metafont的版本號碼趨向${\displaystyle e}$（就是說版本號碼是2，2.7，2.71，2.718等），与之相对的有TeX的版本号是趋向于圆周率的。

• e的π次方
• 无理数
• 超越数
• 欧拉数
• 圆周率
• 指数函数
• 自然對數