阿贝尔判别法

给定两个实数项数列${\displaystyle \{a_{n}\}}$和${\displaystyle \{b_{n}\}}$，如果数列满足

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$收敛

• ${\displaystyle \lbrace b_{n}\rbrace \,}$是单调且有界的

则级数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

收敛。

一个相关的审敛法，也称为阿贝尔判别法，通常用来判断幂级数在收敛圆的边界上的收敛性。如果

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0\,}$

而级数

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\,}$

在|z| < 1是收敛，而在|z| > 1时发散，系数{a_n}是正的实数，当n > m时单调递减并收敛于零，则f(z)的幂级数在单位圆上处处收敛，除了z = 1以外。当z = 1时，不能使用阿贝尔判别法，所以那个点的收敛性必须另外讨论。注意，利用变量代换ζ = z/R，阿贝尔判别法也可以用来判断收敛半径R ≠ 1的幂级数的收敛性。[1]

假设z是单位圆上的一个点，z ≠ 1。则

${\displaystyle z=e^{i\theta }\quad \Rightarrow \quad z^{\frac {1}{2}}-z^{-{\frac {1}{2}}}=2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\neq 0}$

所以，对于任何两个正整数p > q > m，我们有

${\displaystyle {\begin{aligned}2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\left(S_{p}-S_{q}\right)&=\sum _{n=q+1}^{p}a_{n}\left(z^{n+{\frac {1}{2}}}-z^{n-{\frac {1}{2}}}\right)\\&=\left[\sum _{n=q+2}^{p}\left(a_{n-1}-a_{n}\right)z^{n-{\frac {1}{2}}}\right]-a_{q+1}z^{q+{\frac {1}{2}}}+a_{p}z^{p+{\frac {1}{2}}}\,\end{aligned}}}$

其中S_p和S_q是部分和：

${\displaystyle S_{p}=\sum _{n=0}^{p}a_{n}z^{n}.\,}$

但是，由于|z| = 1，而当n > m时，a_n是单调递减的正实数，我们又有

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\left(S_{p}-S_{q}\right)\right|&=\left|\sum _{n=q+1}^{p}a_{n}\left(z^{n+{\frac {1}{2}}}-z^{n-{\frac {1}{2}}}\right)\right|\\&\leq \left[\sum _{n=q+2}^{p}\left|\left(a_{n-1}-a_{n}\right)z^{n-{\frac {1}{2}}}\right|\right]+\left|a_{q+1}z^{q+{\frac {1}{2}}}\right|+\left|a_{p}z^{p+{\frac {1}{2}}}\right|\\&=\left[\sum _{n=q+2}^{p}\left(a_{n-1}-a_{n}\right)\right]+a_{q+1}+a_{p}\\&=a_{q+1}-a_{p}+a_{q+1}+a_{p}=2a_{q+1}\,\end{aligned}}}$

现在我们可以使用柯西判别法来证明f(z)的幂级数在z ≠ 1时收敛，因为sin(½θ) ≠ 0是一个定值，而我们可以通过选择足够大的q，来使a_q+1小于任何给定的ε > 0。

1. (Moretti, 1964, p. 91)

• Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964

• PlanetMath.org （页面存档备份，存于）