黎曼积分

一个闭区间${\displaystyle [a,b]}$的一个分割P是指在此区间中取一个有限的点列${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}$。(由a至b內的所有x)

每个闭区间${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$叫做一个子区间。定义${\displaystyle \lambda }$为这些子区间长度的最大值：${\displaystyle \lambda =\max(x_{i+1}-x_{i})}$，其中${\displaystyle 0\leq i\leq n-1}$。

再定义取样分割。一个闭区间${\displaystyle [a,b]}$的一个取样分割是指在进行分割${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}$后，于每一个子区间中${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$取出一点${\displaystyle x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}}$。${\displaystyle \lambda }$的定义同上。

精细化分割：设${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$以及${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$构成了闭区间${\displaystyle [a,b]}$的一个取样分割，${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$和${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$是另一个分割。如果对于任意${\displaystyle 0\leq i\leq n}$，都存在${\displaystyle r(i)}$使得${\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}}$，并存在${\displaystyle r(i)\leq j<r(i+1)}$使得${\displaystyle t_{i}=s_{j}}$，那么就把分割：${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$、${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$称作分割${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$、${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

对一个在闭区间${\displaystyle [a,b]}$有定义的实值函数${\displaystyle f}$，${\displaystyle f}$关于取样分割${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$、${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$的黎曼和（积分和）定义为以下和式：

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})}$

和式中的每一项是子区间长度${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}}$与在${\displaystyle t_{i}}$处的函数值${\displaystyle f(t_{i})}$的乘积。直观地说，就是以标记点${\displaystyle t_{i}}$到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。

不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。

要使得“越来越‘精细’”有效，需要把${\displaystyle \lambda }$趋于0。如此${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$中的函数值才会与${\displaystyle f(t_{i})}$接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。

严格定义如下：${\displaystyle S}$是函数${\displaystyle f}$在闭区间${\displaystyle [a,b]}$上的黎曼积分，当且仅当对于任意的${\displaystyle \epsilon >0}$，都存在${\displaystyle \delta >0}$，使得对于任意的取样分割${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$、${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$，只要它的子区间长度最大值${\displaystyle \lambda \leq \delta }$，就有：

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-S\right|<\epsilon .\,}$

也就是说，对于一个函数${\displaystyle f}$，如果在闭区间${\displaystyle [a,b]}$上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数${\displaystyle f}$的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么${\displaystyle f}$在闭区间${\displaystyle [a,b]}$上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数${\displaystyle f}$为黎曼可积的。

这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有${\displaystyle \lambda \leq \delta }$的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。

另一个定义: ${\displaystyle S}$是函数${\displaystyle f}$在闭区间${\displaystyle [a,b]}$上的黎曼积分，当且仅当对于任意的${\displaystyle \epsilon >0}$，都存在一个取样分割${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$、${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$，使得对于任何比其“精细”的分割${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ and ${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$，都有：

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{m-1}f(s_{i})(y_{i+1}-y_{i})-S\right|<\epsilon .\,}$

这两个定义是等价的。如果有一个${\displaystyle S}$满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个${\displaystyle S}$满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值${\displaystyle \lambda \leq \delta }$的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于${\displaystyle \delta }$，于是满足

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{m-1}f(s_{i})(y_{i+1}-y_{i})-S\right|<\epsilon .\,}$

其次证明满足第二个定义的${\displaystyle S}$也满足第一个定义。首先引进达布积分的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$使得它的上达布和与下达布和都与${\displaystyle S}$相差不超过${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}}$。令${\displaystyle r}$等于${\displaystyle \max _{0\leq i\leq n-1}(M_{i}-m_{i})}$，其中${\displaystyle M_{i}}$和${\displaystyle m_{i}}$是${\displaystyle f}$在${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$上的上确界和下确界。再令${\displaystyle \delta }$是${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2rn}}}$和${\displaystyle \min _{0\leq i\leq n-1}(x_{i+1}-x_{i})}$中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于${\displaystyle \delta }$时，${\displaystyle f}$关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}}$，所以和${\displaystyle S}$至多相差${\displaystyle \epsilon }$。

由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达布积分（即第二个定义），因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。