导数

一個動畫，給出了一個直觀的導數概念，因為參數變化時函數的“擺動”會改變。

直觀上 ${\displaystyle f(x)-f(a)}$代表函數值從 ${\displaystyle a}$ 到 ${\displaystyle x}$ 的變化量，那這樣，

代表的是從 ${\displaystyle a}$ 到 ${\displaystyle x}$ 的平均變化率，如果把 ${\displaystyle x}$ 趨近於 ${\displaystyle a}$，似乎就可以更能貼切的描述函數值在 ${\displaystyle a}$ 附近的變化。

以此為動機，若实函数 ${\displaystyle f}$ 於实数 ${\displaystyle a}$ 有定義，且以下極限（注意這個表達式所定義的函數定義域不含 ${\displaystyle a}$ ）

存在則称 ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle a}$ 处可导，并称这个极限为 ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle a}$ 处的导数[2]^:117-118，记为${\displaystyle f^{\prime }(a)}$也可记作 ${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=a}}$ 或 ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a)}$ [1]^:154。

根據函數極限的定義，導數定義部分的 ＂存在 ${\displaystyle \delta >0}$ 使所有的 ${\displaystyle x\in D_{f}}$ ，只要 ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ 都有....＂ 可以直觀的理解為 ＂當 ${\displaystyle h=x-a}$ 趨近於 ${\displaystyle 0}$ 都有....＂，但要把它寫成嚴謹的定義，會碰到 ＂存在 ${\displaystyle \delta >0}$ 對所有的實數 ${\displaystyle h}$ ，只要 ${\displaystyle a+h\in D_{f}}$ 且 ${\displaystyle 0<|h|<\delta }$ 都有....＂這段敘述無法直接套入極限定義的問題，對此必須把以下的表達式

定義為導數原始極限表達式的簡記，而非另一種自動合法的導數定義。但如果存在 ${\displaystyle r>0}$ ，使 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle (a-r,\,a+r)}$ 裡都有定義，那定義 ${\displaystyle F}$ 為以

為定義域，然後以

為對應規則的函數，那以下的極限式

就可以把以 ${\displaystyle h}$ 為自變數的偏差，將之趨近於零求導數的想法納入正式的運算裡。

当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数的曲线上的切线斜率。如右图所示，设${\displaystyle P_{0}}$为曲线上的一个定点，${\displaystyle P}$为曲线上的一个动点。当${\displaystyle P}$沿曲线逐渐趋向于点${\displaystyle P_{0}}$时，并且割线${\displaystyle PP_{0}}$的极限位置${\displaystyle P_{0}T}$存在，则称${\displaystyle P_{0}T}$为曲线在${\displaystyle P_{0}}$处的切线。

若曲线为一函数${\displaystyle y=f(x)}$的图像，那么割线${\displaystyle PP_{0}}$（粉紅色）的斜率为：

当${\displaystyle P_{0}}$处的切线${\displaystyle P_{0}T}$（橘紅色），即${\displaystyle PP_{0}}$的极限位置存在时，此时${\displaystyle \Delta x\to 0}$，${\displaystyle \varphi \to \alpha }$，则${\displaystyle P_{0}T}$的斜率${\displaystyle \tan \alpha }$为：

上式与一般定义中的导数定义完全相同，也就是说${\displaystyle f'(x_{0})=\tan \alpha }$，因此，导数的几何意义即曲线${\displaystyle y=f(x)}$在点${\displaystyle P_{0}(x_{0},f(x_{0}))}$处切线的斜率。[2]^:117[1]^:153

若函数 ${\displaystyle \;f(x)\;}$ 在其定义域包含的某区间 ${\displaystyle \;I\;}$ 内每一个点都可导，那么也可以说函数${\displaystyle \;f(x)\;}$ 在区间 ${\displaystyle \;I\;}$ 内可导，这时对于 ${\displaystyle \;I\;}$ 内每一个确定的${\displaystyle \;x\;}$ 值，都对应着 ${\displaystyle \;f\;}$ 的一个确定的导数值，如此一来就构成了一个新的函数${\displaystyle x\mapsto f'(x)}$，这个函数称作原来函数 ${\displaystyle \;f(x)\;}$ 的导函数[1]^:155，记作：${\displaystyle \;y'\;}$、${\displaystyle f'(x)\;}$ 或者 ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x)}$。值得注意的是，导数是一个数，是指函数 ${\displaystyle f(x)\;}$ 在点 ${\displaystyle x_{0}\;}$ 处导函数的函数值。但在不至于混淆的情况下，通常也可以说导函数为导数。

由于对每一个可导的函数 ${\displaystyle \;f(x)\;}$，都有它的导函数 ${\displaystyle f'(x)\;}$ 存在，我们还可以定义将函数映射到其导函数的算子。这个算子称为微分算子，一般记作 ${\displaystyle D}$ 或 ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}$[3]。例如：

${\displaystyle {\begin{aligned}D(x\mapsto 1)&=(x\mapsto 0)\\D(x\mapsto x)&=(x\mapsto 1)\\D(x\mapsto x^{2})&=(x\mapsto 2\cdot x)\end{aligned}}}$

由于微分算子的输出值仍然是函数，可以继续求出它在某一点的取值。比如说对于函数 ${\displaystyle \;f(x)=x^{2}\;}$，

${\displaystyle D(f)=(x\mapsto 2\cdot x)}$

所以${\displaystyle D(f)(x)=2x}$，${\displaystyle D(f)(1.4)=2\times 1.4=2.8}$。

微分也是一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分${\displaystyle \mathrm {d} x}$，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。函数${\displaystyle y=f(x)}$的微分又可记作${\displaystyle \mathrm {d} y=f'(x)\mathrm {d} x}$[4]。

作为微积分的发明人之一，牛顿在1704年著作中将导数用函数符号上方的点来表示。例如 ${\displaystyle y=f(x)}$的导数就记作${\displaystyle {\dot {y}}}$，而二阶导数则记为${\displaystyle {\ddot {y}}}$[9]^:193-196。他以后的数学家也会将${\displaystyle {\dot {y}}}$用来表示函数的微分。牛顿的记法中没有明确自变量，因此 ${\displaystyle y}$ 对 ${\displaystyle x}$ 的导数在牛顿的著作中也会被记成${\displaystyle y':x'}$，因为这可以理解为两个函数${\displaystyle y}$ 和 ${\displaystyle x}$ 对于另一个变量${\displaystyle t}$ 的导数比[9]^:196。而这个导数比（使用莱布尼兹的记号）：

${\displaystyle y':x'={\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {dy}{dx}}}$

牛顿的记号多见于物理学或与之有关的方面，如微分方程中。以及直到现在，使用函数符号上加一点来表示某一变量的变化率（即对时间的导数）依然常见于各类物理学教材中（如使用${\displaystyle {\dot {v}}}$来表示加速度等）。注意到对于高阶的导数，这种记法就无法表示了。

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨

莱布尼兹在他的研究中分别使用 ${\displaystyle \Delta x}$ 和 ${\displaystyle \Delta y}$ 来表示函数自变量和應变量（输出值）的有限变化量，而使用 ${\displaystyle dx}$ 和 ${\displaystyle dy}$ 来表示“无限小”的变化量（即所谓的“无穷小量”）[10]。如果将函数记为${\displaystyle y=f(x)}$的话，那么在莱布尼兹的记法下，其导数记为：

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$、${\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x)}$、${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)}$ 或 ${\displaystyle {\frac {d\left(f(x)\right)}{dx}},}$

这个记法最早出现在莱布尼兹1684年的论文中[9]^:204，莱布尼兹在之前的文章中会将 ${\displaystyle dx}$ 记成 ${\displaystyle {\tfrac {x}{d}}}$，把 ${\displaystyle {\tfrac {dy}{dx}}}$ 记成 ${\displaystyle d{\tfrac {y}{x}}}$。莱布尼兹记法的好处是明确了自变量和應变量[11]。要注意的是记号${\displaystyle dx}$是一个整体，${\displaystyle dy}$也是，而${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$可以看成一个整体，也可以不严谨地看成${\displaystyle dy}$和${\displaystyle dx}$的比值[10]。此外，${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ 表示的是导函数，在某一点 ${\displaystyle x=a}$ 的导数则记为：${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}}$ 对于更高阶的导数（比如说n阶，见高阶导数一节），莱布尼兹的记法是：

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}}$、${\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)}$ 或 ${\displaystyle {\frac {d^{n}\left[f(x)\right]}{dx^{n}}},}$

这种记法是在1695年出现的[9]^:205。这里的分子和分母不再具有单独的意义。莱布尼兹的记法中使用 ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ 来表示微分算子，比如说二阶的导数 ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$ 就可以看成：

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$[11]

莱布尼兹记法的另一个好处是便于记忆导数计算的法则。例如链式法则（见导数的计算一节）应用莱布尼兹的记法就是：

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}}$

可以想象为右边是两个分式的乘积，消去${\displaystyle du}$之后就变成左边[11]。

由于牛顿和莱布尼兹之间关于微积分创始人称号的持久纠纷，在十八世纪早期的很长时间里，英国数学界与欧洲大陆的数学界分别采用牛顿和莱布尼兹的记号，泾渭分明。这种情况直到十八世纪后期才开始改变，随着拉格朗日记法的出现而变得多样化起来[9]^:197-200。

另一种现今常见的记法是十八世纪拉格朗日于1797年率先使用的，以在函数的右上角加上一短撇作为导数的记号。函数 ${\displaystyle y=f(x)}$ 的导数就记作 ${\displaystyle f'(x)}$ 或 ${\displaystyle y'}$[12]。二阶和三阶导数记为${\displaystyle f''(x)}$、${\displaystyle y''}$ 和 ${\displaystyle f'''(x)}$、${\displaystyle y'''}$[9]^:207。如果需要处理更高阶的导数，则用括号内的求导阶数n来代替短撇，记为：${\displaystyle f^{(n)}(x)}$、${\displaystyle y^{(n)}}$。当十九世纪的数学家柯西处理微分学时，他认为莱布尼兹的记法“模糊不便”，而采用更为“紧凑”的记法，将 ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ 记为${\displaystyle y'_{x}}$。这种记法可说是拉格朗日记法的变种[9]^:218。后来这种记法曾继续被精简为${\displaystyle y_{x}}$[13]。

十九世纪以前，尽管大部分数学家会选择采用牛顿、莱布尼兹或拉格朗日的记号来表示导数，但也有很多的数学家希望使用自己的方法来记录。在不同数学家的著作中可以看到各种主流记法的混合或变体。数学家之间关于什么样的记法最为简便和严谨也是各执一词。同时，由于函数的微分、导数、偏导数以及无穷小量等概念尚未成熟，记号的不统一更增加了数学家之间相互理解的难度[9]^:214-234。十九世纪初期的德国数学家马尔丹·欧姆采用${\displaystyle \partial f(x)}$来表示导数，而同时期的雅可比则采用${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$来表示偏导数。同时许多数学家采用${\displaystyle {\frac {df}{dx}}}$[14]、${\displaystyle {\frac {d}{x}}f}$[15]或 ${\displaystyle {\frac {\delta f}{\delta x}}}$[16]表示偏导数。

用大写字母${\displaystyle D}$表示导数从十八世纪末就开始。1800年，法国数学家路易斯·弗朗索瓦·安托内·阿伯加斯特（）使用${\displaystyle D^{m}f}$表示函数 ${\displaystyle f}$ 的m阶导数或全微分[17]。而其后本杰明·佩尔斯也使用${\displaystyle Df\cdot x}$表示 ${\displaystyle f}$ 对 ${\displaystyle x}$ 的导数[18]。而柯西也采用类似的记号，用${\displaystyle D_{x}^{m}f}$表示函数 ${\displaystyle f}$ 对 ${\displaystyle x}$ 的m阶偏导数[19]。

x变化时函数${\displaystyle \scriptstyle f(x)=1+x\sin(x^{2})}$（蓝色曲线）的切线变化。函数的导数值就是切线的斜率，绿色代表其值为正，红色代表其值为负，黑色代表值为零。

根据微积分基本定理，对于可导的函数${\displaystyle f}$，有：

${\displaystyle f(b)-f(a)=\int _{a}^{b}f'(t)\mathrm {d} t}$

如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点（或极值可疑点），在这类点上函数可能会取得极大值或极小值。进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。对于满足 ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ 的一点 ${\displaystyle x_{0}}$，如果存在 ${\displaystyle \delta >0}$ 使得 ${\displaystyle f'}$ 在区间${\displaystyle (x_{0}-\delta ,x_{0}]}$ 上都大于等于零，而在区间 ${\displaystyle [x_{0},x_{0}+\delta )}$ 上都小于等于零，那么 ${\displaystyle x_{0}}$ 是一个极大值点，反之则为极小值点[2]^:170。如果${\displaystyle f''(x_{0})=0}$ 並且 ${\displaystyle f''(x)}$ 在 ${\displaystyle x_{0}}$ 改變加減號，則称这个点是拐点；否則这个点不是拐点。[21]^:200

如果函数在 ${\displaystyle x_{0}}$ 处的二阶导数 ${\displaystyle f''(x_{0})}$ 存在，极值点也可以用它的正负性判断（已确定${\displaystyle f'(x_{0})=0}$）。如果${\displaystyle f''(x_{0})>0}$，那么 ${\displaystyle x_{0}}$ 是一个极小值点，反之为极大值点[2]^:170-171。

可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凸的，反之则是向上凸的。如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上 ${\displaystyle f''}$ 恒大于零，则这个区间上函数是向下凸的，反之这个区间上函数是向上凸的[2]^:176-178。

所谓基本函数是指一些形式简单并且容易求出导数的函数。这些基本函数的导函数可以通过定义直接求出。

• 幂函数的导数：如果

${\displaystyle f(x)=x^{r},}$

其中${\displaystyle r}$是任意实数，那么

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1},}$函数${\displaystyle f}$的定义域可以是整个实数域，但导函数的定义域则不一定与之相同。例如当 ${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$时：

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\tfrac {1}{2}}}\,}$[2]^:119

导函数的定义域只限所有正实数而不包括0。需要注意的是，不会有多项式函数的导数为${\displaystyle \scriptstyle x^{-1}}$。当 ${\displaystyle r=0}$ 时，常函数的导数是0。

• 底数为${\displaystyle e}$的指数函数 ${\displaystyle \scriptstyle y=e^{x}}$ 的导数还是自身：${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}.}$ 而一般的指数函数 ${\displaystyle y=a^{x}}$ 的导数还需要乘以一个系数：${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}a^{x}=\ln(a)a^{x}.}$[2]^:122

自然对数函数的导数则是 ${\displaystyle x^{-1}}$：${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0.}$[2]^:123 同样的，一般的对数函数导数则还需要乘以一个系数：${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}$

• 三角函数的导数仍然是三角函数，或者由三角函数构成[2]^:122:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cot(x)=-\csc ^{2}(x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}(x)}}.}$

• 反三角函数的导数则是无理分式[1]^:160:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

• 求导的线性性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。

${\displaystyle (af+bg)'=af'+bg'\,}$ （其中${\displaystyle a,b}$为常数）[2]^:121

• 两个函数的乘积的导函数，等于其中一个的导函数乘以另一者，加上另一者的导函数与其的乘积

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}$ [2]^:125

• 两个函数的商的导函数也是一个分式。其中分子是分子函数的导函数乘以分母函数减去分母函数的导函数乘以分子函数后的差，而其分母是分母函数的平方。

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ （在${\displaystyle g(x)\neq 0}$处方有意义）[2]^:126

• 复合函数的求导法则：如果有复合函数 ${\displaystyle f(x)=h[g(x)]}$，那么

${\displaystyle f'(x)=h'[g(x)]\cdot g'(x).\,}$[2]^:128

若要求某个函数在某一点的导数，可以先运用以上方法求出这个函数的导函数，再看导函数在这一点的值。

欲求函数

${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,}$

在${\displaystyle x=3}$处的导数。可以先求出其导函数：

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {\mathrm {d} \left(x^{2}\right)}{\mathrm {d} x}}\cos(x^{2})-\left[{\frac {\mathrm {d} \left(\ln {x}\right)}{\mathrm {d} x}}e^{x}+\ln {x}{\frac {\mathrm {d} \left(e^{x}\right)}{\mathrm {d} x}}\right]+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$

其中第二项使用了复合函数的求导法则，而第三项则使用了乘积的求导法则。求出导函数后，再将${\displaystyle x=3}$代入，得到导数为：

${\displaystyle f'(3)=108+6\cos(9)-{\frac {e^{3}}{3}}-\ln(3)e^{3}\,}$

如果函数的导数${\displaystyle f'(x)\,}$在${\displaystyle x\,}$处可导，则称${\displaystyle [f'(x)]'\,}$为${\displaystyle x\,}$的二阶导数。记做：${\displaystyle f''(x)\,}$，${\displaystyle y''\,}$，${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{2}y}{{\rm {d}}x^{2}}}}$或${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{2}f(x)}{{\rm {d}}x^{2}}}}$[2]^:132、

二阶导数可用于求解函数凹凸性问题。 ${\displaystyle f''(x)>0}$函数在x上凹。 ${\displaystyle f''(x)<0}$函数在x下凹。

二阶导数的导数称为三阶导数，记做${\displaystyle f'''(x)\,}$，${\displaystyle y'''\,}$，${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{3}y}{{\rm {d}}x^{3}}}}$或${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{3}f(x)}{{\rm {d}}x^{3}}}}$

三阶导数的导数称为四阶导数，记做${\displaystyle f^{(4)}(x)\,}$，${\displaystyle y^{(4)}\,}$，${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{4}y}{{\rm {d}}x^{4}}}}$或${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{4}f(x)}{{\rm {d}}x^{4}}}}$

一般的${\displaystyle f(x)\,}$的${\displaystyle n-1\,}$阶导数的导数称为${\displaystyle f(x)\,}$的${\displaystyle n\,}$阶导数，记为${\displaystyle f^{(n)}(x)\,}$，${\displaystyle y^{(n)}\,}$，${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}y}{{\rm {d}}x^{n}}}}$或${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}f(x)}{{\rm {d}}x^{n}}}}$[2]^:133

一般来说，高阶导数的计算和导数一样，可以按照定义逐步求出。同时，高阶导数也有求导法则：

• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}(u\pm v)={\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}u\pm {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}v}$
• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}(Cu)=C{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}u\ }$
• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}(u\cdot v)=\sum _{k=0}^{n}C_{k}^{n}{\frac {{\rm {d}}^{n-k}}{{\rm {d}}x^{n-k}}}u{\frac {{\rm {d}}^{k}}{{\rm {d}}x^{k}}}v}$（莱布尼兹公式）[2]^:134

因此，可以利用已知的高阶导数求导法则，通过四则运算, 变量代换等方法，求出${\displaystyle n\ }$阶导数。一些常见的有规律的高阶导数的公式如下[2]^:133：

• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}x^{\alpha }=x^{\alpha -n}\prod _{k=0}^{n-1}(\alpha -k)}$
• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}{\frac {1}{x}}=(-1)^{n}{\frac {n!}{x^{n+1}}}}$
• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\ln x=(-1)^{n-1}{\frac {(n-1)!}{x^{n}}}}$

${\displaystyle \!}$

• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}e^{x}=e^{x}\ }$
• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}a^{x}=a^{x}\cdot \ln ^{n}a}$ ${\displaystyle (a>0)\ }$

${\displaystyle \!}$

• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\sin \left(kx+b\right)=k^{n}\sin \left(kx+b+{\frac {n\pi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\cos \left(kx+b\right)=k^{n}\cos \left(kx+b+{\frac {n\pi }{2}}\right)}$

当函数 ${\displaystyle y}$ 的取值不再是实数，而是一般的${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$中的向量时，仍然可能对其求导。这时的函数值是：${\displaystyle y=\left(y_{1}(x),y_{2}(x),\cdots ,y_{n}(x)\right)}$。每个 ${\displaystyle y_{i}(x),\;\;1\leqslant i\leqslant n}$ 都是一个实数值的函数。具体的例子如二维或者三维空间里的参数方程。因此，对 ${\displaystyle y=f(x)}$ 求导实际上是对每个分量函数 ${\displaystyle y_{i}(x)}$ 求导。

${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=(y'_{1}(t),\cdots ,y'_{n}(t)).}$[2]^:191

这也符合定义

${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}$